WEBVTT 00:00:00.000 --> 00:00:10.700 Hola, soy Andrés Apuebla-Cerri, profesor del departamento de mecánica de los medios continuos 00:00:10.700 --> 00:00:16.920 y teore estructuras. Imaginamos por un momento que esto es una columna de una estructura. 00:00:16.920 --> 00:00:21.880 Yo estoy comprimiendo la columna, pero llega un momento en que sin romperse aparece una 00:00:21.880 --> 00:00:26.560 gran deformación y la columna se dobla. ¿Qué la pasa de la columna? Pues la columna 00:00:26.560 --> 00:00:32.080 ha fallado por pandeo, que es un fenómeno de inestabilidad hométrica. De hecho, en este 00:00:32.080 --> 00:00:37.120 vídeo, voy a hablaros de el fenómeno del pandeo y en particular, de él que cuenta la 00:00:37.120 --> 00:00:41.520 teoría de Euler. El fenómeno del pandeo es un fenómeno que es catastrófico para cualquier 00:00:41.520 --> 00:00:46.760 tipo de estructura, como que la patente en estas imágenes aquí, pandeo de diversos 00:00:46.760 --> 00:00:52.480 columnas, pandeo de una estructura completa como se deposito o incluso de las celosías 00:00:52.480 --> 00:00:58.400 que sostienen depósito elevado. El resultado de aprendizaje que se persigue es este, que 00:00:58.400 --> 00:01:02.240 puedas deducir la expresión de la carga crítica de pandeo, según la teoría de Euler 00:01:02.240 --> 00:01:06.400 diferenciando entre esfuerzos de primer y de segundo orden, constatando la alcance 00:01:06.400 --> 00:01:11.000 de esta teoría. Para ello, lo primero que vamos a hacer es aplantear unas hipótesis 00:01:11.000 --> 00:01:15.720 de partida, deduciríamos la carga crítica de pandeo de Euler, plantearé alguna cuestión 00:01:15.720 --> 00:01:21.160 de repaso y finalmente estableceré una serie de conclusiones. En cuanto hipótesis de 00:01:21.160 --> 00:01:26.440 partida, Fue Euler, quien en el siglo XVIII, estudió el pandeo de una columna sometida 00:01:26.440 --> 00:01:32.480 a compresión y Euler estudió este fenómeno a partir de lo que se conoce como la columna 00:01:32.480 --> 00:01:37.880 de Euler o la columna ideal. Las hipótesis son estas aquí, régimen el de comportamiento 00:01:37.880 --> 00:01:43.480 lástico y lineal, sección y material costantes, sin imperfecciones, una pieza perfectamente 00:01:43.480 --> 00:01:48.480 recta, sin tensiones residuales, la carga aplicada en el acentro de gravedad de la sección 00:01:48.480 --> 00:01:53.800 y los extremos con posibilidad de giro. Este es el modelo de cálculo de la columna ideal 00:01:53.800 --> 00:01:59.440 de Euler. Bien, pues para deducir la expresión de la carga crítica de pandeo de Euler, 00:01:59.440 --> 00:02:05.560 aquí ponemos un sistema coordenado EXI en esta columna y si estudiamos la columna sometida 00:02:05.560 --> 00:02:10.400 a compresión bajo la teoría de primer orden, es decir, manteniendo el principio vigente 00:02:10.400 --> 00:02:15.080 de las pequeñas deformaciones, tenemos que la columna se acorta y que les fuerza en 00:02:15.080 --> 00:02:20.520 cualquier sección es una explosión de compresión. Bien, ¿qué sucede que en el fenómeno 00:02:20.520 --> 00:02:25.240 del pandeo no hay pequeñas deformaciones, sino que hay una flexión y unas grandes 00:02:25.240 --> 00:02:30.000 deformaciones? Entonces, aquí se tiene que explicar el comportamiento de esta columna 00:02:30.000 --> 00:02:35.440 a través de la teoría de segundo orden. En esta teoría, lo que se tiene es que plantear 00:02:35.440 --> 00:02:42.320 el equilibrio de lo que es la columna o de cualquier parte de ella, teniendo en cuenta 00:02:42.320 --> 00:02:48.040 la configuración deformada. En este caso, si aquí cortamos por una sección S situada 00:02:48.040 --> 00:02:54.320 a una distancia AX del extremo inicial de la barra de la columna, tenemos que los esfuerzos 00:02:54.320 --> 00:02:58.720 que aparecen en esta sección de corte es una explosión de compresión P, pero también 00:02:58.720 --> 00:03:05.680 un momento flexor de valor menos P por I. ¿Qué es I? Y es el desplazamiento lateral de 00:03:05.680 --> 00:03:12.160 cualquier sección de la barra. Bien, en este caso vamos a tomar este momento y vamos 00:03:12.160 --> 00:03:18.040 a tomar aquí también esta ecuación diferencial, derivada segunda de I es igual a M partido por 00:03:18.040 --> 00:03:23.000 I, ¿qué es la ecuación diferencial de la línea elástica? E por I, ¿qué es la 00:03:23.000 --> 00:03:29.160 rigidez a flexión? Si combinamos estas expresiones y denominamos que ha cuadrado a una constante 00:03:29.160 --> 00:03:35.720 que es P partido por I, obtenemos esta ecuación diferencial, que es lineal o bogenia y de 00:03:35.720 --> 00:03:40.560 coeficientes constantes. ¿Cuál es la solución de esta ecuación? Pues la solución de esta 00:03:40.560 --> 00:03:45.120 ecuación, pues por lo demás también habitual de otras disciplinas como dinámica, es esta 00:03:45.120 --> 00:03:52.400 IDX igual a C sub 1 por seno de KX, más C sub 2 por seno de KX. Pues bien, esta expresión 00:03:52.400 --> 00:03:58.320 de IDX no está completa sin determinar los valores de los constantes C sub 1 y C sub 2. 00:03:58.320 --> 00:04:03.720 Para ello, queremos imponer condiciones de contorno. Vamos a recordar el aspecto de la columna 00:04:03.720 --> 00:04:09.120 de 1. Bien, la primera condición de contorno es esta de aquí. Cuando aquí es igual a 0, 00:04:09.120 --> 00:04:13.960 el desfracimiento lateral es nulo y esto nos lleva a que la constante C sub 2 es 0. La siguiente 00:04:13.960 --> 00:04:18.720 condición de contorno es esta de aquí. Cuando X es igual a L, el desfracimiento lateral también 00:04:18.720 --> 00:04:26.160 vale 0 y entonces, a sustituir estos valores en la expresión de IDX, tenemos que hacer C sub 2 00:04:26.160 --> 00:04:32.960 0, el segundo sumando desaparece. Bien, la nullidad de este producto viene determinada por, 00:04:32.960 --> 00:04:38.280 o bien que C sub 1 0, esto no está en una solución trivial, tendríamos que la barra en 00:04:38.320 --> 00:04:45.200 nuestra pandeada, lo que sería absurdo y entonces el segundo suma, el segundo factor seno de 00:04:45.200 --> 00:04:51.120 K por L es la que tiene que ser igual a 0. Nos vamos a fijar a partir de ahora en él. Bueno, pues aquí 00:04:51.120 --> 00:04:57.600 que pasa que ya con la columna pandeada, con este fenómeno de deflexión en la que se traduce 00:04:57.600 --> 00:05:04.000 esta inestabilidad, tenemos que el seno de K por L es igual a 0 si el argumento K por L es un 00:05:04.000 --> 00:05:10.920 múltiplo de P, siendo N0 1 2 hasta el infinito. El conjunto de valores de P es lo que forman los 00:05:10.920 --> 00:05:20.120 modos de pandeo de la columna, es decir, IDX es C sub 1 seno de Np. Si representamos N para los 5 00:05:20.120 --> 00:05:27.640 primeros valores, tenemos que si N es igual a 0, la columna permanece recta, si N es igual a 1 00:05:27.640 --> 00:05:33.640 forma, como se puede ver ahí, un lóbulo si N es igual a 2, formados lóbulos y así sucesivamente 00:05:33.640 --> 00:05:39.400 hasta N igual a infinito. Bien, sea como sea la condición de equilibrio en situación de pandeo, 00:05:39.400 --> 00:05:46.280 es que a por L igual a Np, de aquí despejamos K y le vamos al cuadrado y queda Np partido por el 00:05:46.280 --> 00:05:52.360 adcuadrado y si recordamos que K cuadrado es a sí mismo P partido por E por I, tenemos el valor 00:05:52.360 --> 00:05:58.240 de la carga crítica de Euler para un modo de pandeo determinado, es decir, Np partido por el 00:05:58.240 --> 00:06:06.120 adcuadrado por E por I. Bien, recordemos ahora, no obstante que la columna de Euler es una columna ideal, 00:06:06.120 --> 00:06:12.760 excenta, no tiene ningún otro elemento que limite pues un desplacimiento lateral de cual es que 00:06:12.760 --> 00:06:18.440 de cualquiera de sus secciones y por lo tanto en el momento del pandeo está por así decirlo 00:06:18.560 --> 00:06:23.760 obligada a que pandee, segura el primer modo, es decir, N es igual a 1. En este caso, 00:06:23.760 --> 00:06:29.000 el valor de la carga crítica es P cuadrado por E partido por el adcuadrado. Si representamos 00:06:29.000 --> 00:06:35.480 esta expresión aparece esta parábola donde se puede ver que la carga crítica de Euler 00:06:35.480 --> 00:06:40.760 tiene infinito en el caso de que la longitud de la columna postienda 0, que significa esto 00:06:40.760 --> 00:06:46.160 que cuando la columna más pequeña sea, primero pues preparará el fallo por rotura por 00:06:46.160 --> 00:06:53.160 aplastamiento que por pandeo. Y sucederá justo lo contrario si la longitud se va haciendo cada vez 00:06:53.160 --> 00:06:58.160 más alta, es decir, que al final pues prevalecerá el fallo por pandeo de la columna. Bien, debemos 00:06:58.160 --> 00:07:06.160 recordar que la columna pues los momentos inercia de respecto de los ejes principales de la sección 00:07:06.160 --> 00:07:10.160 transversal no tienen por qué necesariamente ser iguales como en esta sección rectangular. 00:07:10.160 --> 00:07:17.160 Entonces, el momento de inercia que va a dar la menor carga crítica será pues el mínimo 00:07:17.160 --> 00:07:25.760 entre y subir y sujeta. Bien, a continuación te planteó la siguiente cuestión. Si a la columna 00:07:25.760 --> 00:07:30.800 de la figura está ahí, se le modifican las condiciones de contorno, ¿tú crees que variera 00:07:30.800 --> 00:07:35.640 la carga crítica de pandeo de Euler o no? Las nuevas condiciones de contorno de la columna son 00:07:35.640 --> 00:07:41.640 estas que tienes aquí. Es decir, aquí pues tenemos que en la sección central se le ha restringido su 00:07:41.640 --> 00:07:47.640 desplazamiento lateral. Aquí tienes la carga crítica de Euler, la expresión que acabamos 00:07:47.640 --> 00:07:54.640 de deducir, y ahora aquí tienes las opciones. No variará o mental al doble, dismirir 00:07:54.640 --> 00:08:01.640 a tres veces o aumentar a cuatro veces. Si que variará la carga crítica de Euler, 00:08:01.640 --> 00:08:08.640 vuelve a intentarlo. Casi, aumentará, aunque no el doble, vuelve a intentarlo. 00:08:08.640 --> 00:08:17.640 No, la carga crítica de Euler no va a disminuir. Correcto, la carga crítica de Euler 00:08:17.640 --> 00:08:23.640 aumentará cuatro veces. ¿Por qué? Bueno, pues la nueva situación de pandeo con la columna, 00:08:23.640 --> 00:08:29.640 con estas nuevas condiciones de contorno, es la que ves aquí. Entonces, fíjate que aquí 00:08:29.640 --> 00:08:34.640 en la expresión de la carga crítica de Euler, la longitud de la columna está elevada al cuadrado. 00:08:34.640 --> 00:08:41.640 Entonces, si disminuímosle a la mitad, la carga crítica aumenta cuatro veces. 00:08:41.640 --> 00:08:47.640 En cuanto a conclusiones de este vídeo, bueno, pues la primera es que el pandeo es un fenómeno 00:08:47.640 --> 00:08:52.640 de estervidad geométrica, que tiene lugar en una columna, sobre todo cuando esa es delta, 00:08:52.640 --> 00:08:57.640 cuando tiene una longitud muy elevada, y cuando está sometida con presión. 00:08:57.640 --> 00:09:02.640 La teoría de Euler explica el fenómeno del pandeo. Sin embargo, esta teoría es ideal. 00:09:02.640 --> 00:09:06.640 ¿Por qué? Porque habla de piezas sin inversiones, que estas sometidas solamente a compresión 00:09:06.640 --> 00:09:12.640 y en la realidad, pues puede haber otros esfuerzos actuando sobre cualquier sección de la columna. 00:09:12.640 --> 00:09:17.640 Bien, según la teoría de Euler, la carga crítica supone el paso de equilibrio estable, 00:09:17.640 --> 00:09:20.640 hay equilibrio inestable. ¿Qué significa esto? Pues que en primer lugar, 00:09:20.640 --> 00:09:24.640 si la carga actuante sobre la columna es inferior a la carga crítica de Euler, 00:09:24.640 --> 00:09:29.640 lo que tenemos aquí es que se deforma por pandeo, pero al quitar la carga puede recuperar 00:09:29.640 --> 00:09:35.640 otra vez su forma inicial. Si la carga es igual, la carga crítica de Euler, 00:09:35.640 --> 00:09:40.640 la columna queda de forma de esta manera, si tiene lo que se conoce como equilibrio en eutro, 00:09:40.640 --> 00:09:45.640 que en la práctica no suele presentarse. Por último, si la carga actuante es mayor 00:09:45.640 --> 00:09:51.640 que la carga crítica de pandeo, que hemos calculado, según esta expresión que hemos deducido, 00:09:51.640 --> 00:09:56.640 pues lo que tenemos aquí es una situación de equilibrio inestable. 00:09:56.640 --> 00:10:00.640 Bien, con esto termino este vídeo hablando de la carga crítica de Euler 00:10:00.640 --> 00:10:04.640 y espero que te haya sido de utilidad. Nos vemos la próxima vez.